Notas históricas sobre a invenção do zero

O princípio da atual notação posicional Foi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, que nasceu o mais antigo sistema de notação próximo do atual, o que é comprovado por vários documentos, além de ser citado por árabes (a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos). Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia setentrional usaram por muito tempo uma numeração rudimentar que aparece em muitas inscrições do século III antes de Cristo. Esta numeração tinha uma característica do sistema moderno. Seus nove primeiros algarismos eram sinais independentes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o que significava que um número como o 5 não era entendido como 5 unidades mas como um símbolo independente. Estes algarismos por muito tempo, foram denominados de uma forma errada, algarismos arábicos. Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os hindús passaram a usar a notação por extenso para os números, pois não podiam exprimir grandes números por algarismos. Sem saber, estavam criando a notação posicional e também o zero. Cada algarismo tinha um nome:
1=eka	2=dvi	3=tri	4=catur	5=pañca	6=sat	7=sapta	8=asta	9=nava
Quando foi criada a base 10, cada dezena recebia um nome assim como cada centena e milhar, mas ao invés de fazer como hoje, de acordo com as potências decrescentes de 10, os hindús escreviam os números em ordem crescente das potências de 10 por volta do século IV depois de Cristo. Eles começavam pelas unidades, depois pelas dezenas, pelas centenas e assim por diante. O número 3.709 ficava: nove sete centos três mil nava sapta sata ca trisahasra Os hindús tinham nomes individuais para: 10 = dasa 100 = sata 1.000 = sahasra 10.000 = ayuta 100.000 = laksa 1.000.000 = prayuta 10.000.000 = koti 100.000.000 = vyarbuda 1.000.000.000 = padma Poderiamos escrever o número 12.345 como pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta pois 12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 + 10.000 logo: 5 = pañca 40 = catur + dasa 300 = tri + sata 2.000 = dvi + sahasra 10.000 = ayuta Esta já era uma forma especial. Em virtude da grande repetição que ocorria com as potências de 10, por volta do século V depois de Cristo, os matemáticos e astrônomos hindús resolveram abreviar a notação retirando os múltiplos de 10 que apareciam nos números grandes, assim o número 12.345 que era escrito como: pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta passou a ser escrito apenas: pañca catur tri dvi dasa 12345=5+4x10+3x100+2x1000+1x10000 e esta se transformou em uma notação falada e escrita posicional excelente para a época, mas começaram a acontecer alguns problemas como escrever os números 321 e 301. 321 = 1 + 2 x 10 + 3 x 100 321 = dasa dvi tri 301 = 1 + 3 x 100 301 = dasa tri É lógico que este último número não poderia ser o 31, pois: 31 = 1 + 3 x 10 31 = dasa tri No número 301 faltava algo para representar as dezenas. A criação do zero Tendo em vista o problema na construção dos números como 31 e 301, os hindús criaram um símbolo para representar algo vazio (ausência de tudo) que foi denominado sunya ( a letra s leva um acento agudo) e a letra u tem um traço horizontal sobre ela. Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de um algarismo para representar as dezenas no número 301 e assim passaram a escrever: 301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100 301 = dasa sunya tri Os hindús tinham acabado de descobrir o zero. Porém estas notações só serviam para as palavras e não para os números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zero bem como o atual sistema de notação posicional. Um dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é um tratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado na data de 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por um movimento religioso hindú para enaltecer as suas qualidades científicas e religiosas. Neste texto, aparece o número 14.236.713 escrito claramente: triny ekam sapta sat trini dve catvary ekakam que significa três um sete seis três dois quatro um Escrevendo estes números na ordem invertida, obteremos: um quatro dois três seis sete um três Números como 123.000 eram escritos como: sunya sunya sunya tri dvi dasa que significa: zero zero zero três dois um que escrito na ordem invertida fornece: um dois três zero zero zero No texto existe a palavra hindú sthanakramad que significa "por ordem de posição". Observamos que tal notação posicional já era então conhecida no quinto século de nossa era por uma grande quantidade de cientistas e matemáticos. Este material foi adaptado do excelente livro: "Os números: A história de uma grande invenção", Georges Ifrah, Editora Globo, 3a. edição, 1985

Fonte:

O princípio da atual notação posicional Foi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, que nasceu o mais antigo sistema de notação próximo do atual, o que é comprovado por vários documentos, além de ser citado por árabes (a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos). Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia setentrional usaram por muito tempo uma numeração rudimentar que aparece em muitas inscrições do século III antes de Cristo. Esta numeração tinha uma característica do sistema moderno. Seus nove primeiros algarismos eram sinais independentes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o que significava que um número como o 5 não era entendido como 5 unidades mas como um símbolo independente. Estes algarismos por muito tempo, foram denominados de uma forma errada, algarismos arábicos. Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os hindús passaram a usar a notação por extenso para os números, pois não podiam exprimir grandes números por algarismos. Sem saber, estavam criando a notação posicional e também o zero. Cada algarismo tinha um nome:
1=eka	2=dvi	3=tri	4=catur	5=pañca	6=sat	7=sapta	8=asta	9=nava
Quando foi criada a base 10, cada dezena recebia um nome assim como cada centena e milhar, mas ao invés de fazer como hoje, de acordo com as potências decrescentes de 10, os hindús escreviam os números em ordem crescente das potências de 10 por volta do século IV depois de Cristo. Eles começavam pelas unidades, depois pelas dezenas, pelas centenas e assim por diante. O número 3.709 ficava: nove sete centos três mil nava sapta sata ca trisahasra Os hindús tinham nomes individuais para: 10 = dasa 100 = sata 1.000 = sahasra 10.000 = ayuta 100.000 = laksa 1.000.000 = prayuta 10.000.000 = koti 100.000.000 = vyarbuda 1.000.000.000 = padma Poderiamos escrever o número 12.345 como pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta pois 12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 + 10.000 logo: 5 = pañca 40 = catur + dasa 300 = tri + sata 2.000 = dvi + sahasra 10.000 = ayuta Esta já era uma forma especial. Em virtude da grande repetição que ocorria com as potências de 10, por volta do século V depois de Cristo, os matemáticos e astrônomos hindús resolveram abreviar a notação retirando os múltiplos de 10 que apareciam nos números grandes, assim o número 12.345 que era escrito como: pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta passou a ser escrito apenas: pañca catur tri dvi dasa 12345=5+4x10+3x100+2x1000+1x10000 e esta se transformou em uma notação falada e escrita posicional excelente para a época, mas começaram a acontecer alguns problemas como escrever os números 321 e 301. 321 = 1 + 2 x 10 + 3 x 100 321 = dasa dvi tri 301 = 1 + 3 x 100 301 = dasa tri É lógico que este último número não poderia ser o 31, pois: 31 = 1 + 3 x 10 31 = dasa tri No número 301 faltava algo para representar as dezenas. A criação do zero Tendo em vista o problema na construção dos números como 31 e 301, os hindús criaram um símbolo para representar algo vazio (ausência de tudo) que foi denominado sunya ( a letra s leva um acento agudo) e a letra u tem um traço horizontal sobre ela. Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de um algarismo para representar as dezenas no número 301 e assim passaram a escrever: 301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100 301 = dasa sunya tri Os hindús tinham acabado de descobrir o zero. Porém estas notações só serviam para as palavras e não para os números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zero bem como o atual sistema de notação posicional. Um dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é um tratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado na data de 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por um movimento religioso hindú para enaltecer as suas qualidades científicas e religiosas. Neste texto, aparece o número 14.236.713 escrito claramente: triny ekam sapta sat trini dve catvary ekakam que significa três um sete seis três dois quatro um Escrevendo estes números na ordem invertida, obteremos: um quatro dois três seis sete um três Números como 123.000 eram escritos como: sunya sunya sunya tri dvi dasa que significa: zero zero zero três dois um que escrito na ordem invertida fornece: um dois três zero zero zero No texto existe a palavra hindú sthanakramad que significa "por ordem de posição". Observamos que tal notação posicional já era então conhecida no quinto século de nossa era por uma grande quantidade de cientistas e matemáticos. Este material foi adaptado do excelente livro: "Os números: A história de uma grande invenção", Georges Ifrah, Editora Globo, 3a. edição, 1985

Fonte:

O princípio da atual notação posicional Foi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, que nasceu o mais antigo sistema de notação próximo do atual, o que é comprovado por vários documentos, além de ser citado por árabes (a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos). Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia setentrional usaram por muito tempo uma numeração rudimentar que aparece em muitas inscrições do século III antes de Cristo. Esta numeração tinha uma característica do sistema moderno. Seus nove primeiros algarismos eram sinais independentes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o que significava que um número como o 5 não era entendido como 5 unidades mas como um símbolo independente. Estes algarismos por muito tempo, foram denominados de uma forma errada, algarismos arábicos. Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os hindús passaram a usar a notação por extenso para os números, pois não podiam exprimir grandes números por algarismos. Sem saber, estavam criando a notação posicional e também o zero. Cada algarismo tinha um nome:
1=eka	2=dvi	3=tri	4=catur	5=pañca	6=sat	7=sapta	8=asta	9=nava
Quando foi criada a base 10, cada dezena recebia um nome assim como cada centena e milhar, mas ao invés de fazer como hoje, de acordo com as potências decrescentes de 10, os hindús escreviam os números em ordem crescente das potências de 10 por volta do século IV depois de Cristo. Eles começavam pelas unidades, depois pelas dezenas, pelas centenas e assim por diante. O número 3.709 ficava: nove sete centos três mil nava sapta sata ca trisahasra Os hindús tinham nomes individuais para: 10 = dasa 100 = sata 1.000 = sahasra 10.000 = ayuta 100.000 = laksa 1.000.000 = prayuta 10.000.000 = koti 100.000.000 = vyarbuda 1.000.000.000 = padma Poderiamos escrever o número 12.345 como pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta pois 12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 + 10.000 logo: 5 = pañca 40 = catur + dasa 300 = tri + sata 2.000 = dvi + sahasra 10.000 = ayuta Esta já era uma forma especial. Em virtude da grande repetição que ocorria com as potências de 10, por volta do século V depois de Cristo, os matemáticos e astrônomos hindús resolveram abreviar a notação retirando os múltiplos de 10 que apareciam nos números grandes, assim o número 12.345 que era escrito como: pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta passou a ser escrito apenas: pañca catur tri dvi dasa 12345=5+4x10+3x100+2x1000+1x10000 e esta se transformou em uma notação falada e escrita posicional excelente para a época, mas começaram a acontecer alguns problemas como escrever os números 321 e 301. 321 = 1 + 2 x 10 + 3 x 100 321 = dasa dvi tri 301 = 1 + 3 x 100 301 = dasa tri É lógico que este último número não poderia ser o 31, pois: 31 = 1 + 3 x 10 31 = dasa tri No número 301 faltava algo para representar as dezenas. A criação do zero Tendo em vista o problema na construção dos números como 31 e 301, os hindús criaram um símbolo para representar algo vazio (ausência de tudo) que foi denominado sunya ( a letra s leva um acento agudo) e a letra u tem um traço horizontal sobre ela. Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de um algarismo para representar as dezenas no número 301 e assim passaram a escrever: 301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100 301 = dasa sunya tri Os hindús tinham acabado de descobrir o zero. Porém estas notações só serviam para as palavras e não para os números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zero bem como o atual sistema de notação posicional. Um dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é um tratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado na data de 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por um movimento religioso hindú para enaltecer as suas qualidades científicas e religiosas. Neste texto, aparece o número 14.236.713 escrito claramente: triny ekam sapta sat trini dve catvary ekakam que significa três um sete seis três dois quatro um Escrevendo estes números na ordem invertida, obteremos: um quatro dois três seis sete um três Números como 123.000 eram escritos como: sunya sunya sunya tri dvi dasa que significa: zero zero zero três dois um que escrito na ordem invertida fornece: um dois três zero zero zero No texto existe a palavra hindú sthanakramad que significa "por ordem de posição". Observamos que tal notação posicional já era então conhecida no quinto século de nossa era por uma grande quantidade de cientistas e matemáticos. Este material foi adaptado do excelente livro: "Os números: A história de uma grande invenção", Georges Ifrah, Editora Globo, 3a. edição, 1985

Sistema de Numeração Egípcios

Sistema de Numeração Egípcios

Você já parou para pensar sobre a forma como os números surgiram?

• Como foram as primeiras formas de contagem?
• Será que os números sempre existiram?

Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos estudar um pouco da História humana. Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas, como o estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.
Olhando ao redor, podemos observar como é grande a presença dos números.

Quanto mais voltarmos na história, veremos que menor é a presença dos números.

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O Início do processo de contagem
Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.
O homem começou a produzir alimentos, construir casas e domesticar animais, aproveitando-se dos mesmos através do uso da lã e do leite, tornando-se criador e desenvolvendo o pastoreio, o que trouxe profundas modificações na vida humana.

As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, desenvolveram-se há cerca de dez mil anos na região hoje denominada Oriente Médio. A agricultura passou a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.

No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho.
Assim eles podiam usar a correspondência unidade a unidade, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.

No caso das pedrinhas, cada animal que saia para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra.
A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.
A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.

Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte.

Hoje em dia, usamos ainda a correspondência unidade a unidade.

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Representação numérica
Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de representação.

A faculdade humana natural de reconhecimento imediato de quantidades se resume a, no máximo, quatro elementos.
Este é o chamado senso numérico que é a faculdade que permite reconhecer que alguma coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à coleção.
O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental.
"Distinguimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmo quatro elementos. Mas aí para nosso poder de identificação dos números." História Universal dos Algarismos, Georges Ifrah.

Temos também, alguns animais, ditos irracionais, como os rouxinóis e os corvos, que possuem este senso numérico onde reconhecem quantidades concretas que vão de um até três ou quatro unidades.
Existe um exemplo célebre sobre um corvo que tinha capacidade de reconhecer quantidade:

Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que fez seu ninho na torre de observação de sua mansão. Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía do ninho. De uma árvore distante, ele esperava atentamente até que o homem saísse da torre e só então voltava ao ninho. Um dia, o fazendeiro tentou um ardil: dois homens entraram na torre, um ficou dentro e o outro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi enganado: manteve-se afastado até que o outro homem saísse da torre. A experiência foi repetida nos dias subsequentes com dois, três e quatro homens, ainda sem sucesso. Finalmente, foram utilizados cinco homens como antes, todos entraram na torre e um permaneceu lá dentro enquanto os outros quatro saíam e se afastavam. Desta vez o corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre quatro e cinco, voltou imediatamente ao ninho.

No começo da história da escrita de algumas civilizações como a egípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiros eram anotados pela repetição de traços verticais:

I	II	III	IIII	IIIII	IIIIII	IIIIIII	IIIIIIII	IIIIIIIII
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contar mais do que quatro termos:

I	II	III	IIII	IIII I	IIII II	IIII III	IIII IIII	IIII IIII I
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de base dez e era composto pelos seguintes símbolos numéricos:

Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia, criado a aproximadamente 4 mil anos.
Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com as partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias os indivíduos chegavam a contar até o número 33.

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O Ábaco
O ábaco, em sua forma geral, é uma moldura retangular com fileiras de arame, cada fileira representando uma classe decimal diferente, nos quais correm pequenas bolas

No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os cálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizações orientais e ocidentais.
No Japão, o ábaco é chamado de soroban e na China de suánpan, que significa bandeja de calcular.

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O Sistema de numeração Indo-Arábico
Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão.
O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e sua unicidade, o segundo número 2, significava a mulher da família, a dualidade e o número 3 significava muitos, multidão.
Observemos uma curiosidade que não pode ter ocorrida por acaso:

Português	Inglês	Francês	Latim	Grego	Italiano
Três	three	trois	tres	treis	tre
Espanhol	Sueco	Alemão	Russo	Polonês	Hindú
tres	tre	drei	tri	trzy	tri

Fonte:http://calculu.sites.uol.com.br/Artigos/Sistemanumeracao/sistnumeracao.htm

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Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c)

Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:

Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...

Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...

Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles.

Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

Indica-se: m.m.c (4 e 6) = 12

Agora vamos achar os múltiplos comuns de 40 e 60. 

Múltiplos de 40: 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400...

Múltiplo de 60: 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480...

Os múltiplos comuns de 40 e 60 são: 0, 120, 360...

O número 120 é o menor ou mínimo múltiplo comum dos números naturais 40 e 60.

Indica-se: m.m.c (40 e 60) = 120.
Existem outras duas maneiras de calcular o m.m.c de dois ou mais números naturais:

Vamos começar determinando o menor número natural, diferente de zero, que é múltiplo comum dos números 20 e 40.

1º) Primeiramente, vamos decompor cada um dos números em fatores primos:


Agora, consideramos todos os fatores na forma fatorada, cada um deles com seu maior expoente.

Neste caso esses fatores são 2³ x 5

O produto dos fatores encontrados será o m.m.c procurado, ou seja:

m.m.c (20, 40) = 2³ x 5 = 40

2º) A outra maneira de calcular o m.m.c é fazendo uma decomposição simultânea, em fatores primos, considerando os mesmos números 20 e 40.

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra o exemplo abaixo. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números.

Trabalhando com Fraçoes

Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração onde Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.


Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como:


Em linguagem matemática, as frações podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum.

Observe esta figura



Esta figura foi dividida em quatro partes, portanto, a parte mais clara representa um quarto da figura.

Leitura das frações

Uma fração com o denominador menor que 10, podemos escrever assim:

1/2 um meio ou metade
1/3 um terço ou a terça parte
1/4 um quarto ou a quarta parte
1/5 um quinto ou a quinta parte
1/6 um sexto ou a sexta parte
1/7 um sétimo ou a sétima parte
1/8 um oitavo ou a oitava parte
1/9 um nono ou a nona parte

Uma fração com denominador maior que 10 e menor que 100, 1000, 10000..., acrescentamos a palavra avos após a escrita do denominador:

1/17 um dezessete avos
1/23 um vinte e três avos
1/67 um sessenta e sete avos
1/98 um noventa e oito avos

Uma fração com denominador de potencia de 10 ( 10, 100, 1000...) tem nomes especiais:

1/10 um décimo ou a décima parte
1/100 um centésimo
1/1000 um milésimo.
1/10000 um décimo do milésimo

Uma fração com o numerador maior que 1. 

5/4 cinco quartos
6/7 seis sétimos
17/60 dezesste sessenta avos
8/13 oito treze avos